工科高等代数
0.空间解析几何
向量及其线性运算
向量的线性运算
两非零向量的关系
相等：大小相等方向相同
平行或共线：方向相同或相反的两个非零向量
垂直：方向成90度夹角
共面：若干个向量起点放在一起，终点和公共起点在同一平面上
向量加法与数乘统称为向量的线性运算 单位向量的表示
向量$\vec b$平行于向量$\vec a$等价于存在唯一实数$\lambda$ 使得$\vec b=\lambda \vec a$
空间直角坐标系
右手系 当右手的四个手指从正向 x轴 以 $\frac \pi 2$角度转向正向 y轴 时，大拇指的指向就是 z 轴的正向
点 向量 坐标 向量的模 两点间距离公式
方向角和方向余弦 向量在轴上的投影
向量的内积外积混合积
内积：$\vec a\cdot \vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta$
外积：$\vec a\times \vec b=|\vec a||\vec b|\sin \theta$ $\vec a\times\vec b=-\vec a\times \vec b$
$\vec a\times \vec b=(a_yb_z-a_zb_y)\vec i+(a_zb_x-a_xb_z)\vec j+(a_xb_y-a_yb_x)\vec k$
混合积：$(\vec a,\vec b,\vec c)=(\vec a\times \vec b)\cdot\vec c=\left | \begin{matrix} a_x& a_y& a_z\b_x& b_y& b_z\c_x& c_y& c_z\end{matrix}\right |$
曲面及其方程
一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴
柱面
平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面 C 叫做准线, l 叫做母线
二次曲面
空间曲线及其方程
平面及其方程
一个非零向量垂直一平面，称为法线向量 记为$\vec n$
平面的点法式方程：$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$
$(A,B,C)$是法向量，$(x_0,y_0,z_0)$是平面上一个已知的点
一般方程：$AX+BY+CZ+D=0$
截距式方程：$\frac x a+\frac y b+\frac z c=1$
两平面法向量间的夹角——两平面的夹角
$\cos\theta=\frac {\vec n_1\cdot \vec n_2} {|\vec n_1||\vec n_2|}$
空间直线方程
一个非零向量平行于一条已知直线，则称为这条直线的方向向量 记为$\vec s=(m,n,p)$
直线点向式方程/对称式方程：$\frac {x-x_0} m=\frac {y-y_0} n=\frac {z-z_0} p$
直线的参数方程：$\begin{cases} x=x_0+mt\y=y_0+nt\z=z_0+pt\end{cases} (m^2+n^2+p^2\neq 0)$
平面束
1.线性方程组的解法
n元线性方程组 齐次，非齐次（常数项不全为0）
线性方程组的解，解集合
方程组的线性组合 初等变换（同解变形）
矩阵的初等行变换解方程
数环与数域
2.向量空间
线性相关与线性无关
n维向量的定义与运算
数域：是一个含0和1,且对加，减，乘，除（0不为除数）封闭的数集. 例如：有理数域Q，实数域R，复数域C
n维向量：任意数域上的n个有顺序的数组成的数组$\alpha=(a_1,a_2,…,a_n)$
运算：相等 零向量 线性运算 数乘 负向量 减法 行向量 列向量 转置
向量内积：$[\alpha,\beta]=a_1b_1+…+a_nb_n$ 对称性 齐次性 分配性 非负性（向量和本身做内积）不等式$[\alpha,\beta]^2\leq [\alpha,\alpha]*[\beta,\beta]$
向量范数 $||\alpha||=\sqrt{[\alpha,\alpha]}=\sqrt{a_1^2+…+a_n^2}$ 非负性 正齐次性
三角不等式：$||\alpha+\beta||^2\leq (||\alpha||+||\beta||)^2$
夹角：$\theta=\arccos{\frac {[\alpha,\beta]}{||\alpha||*||\beta||}} $
正交：$[\alpha,\beta]=0$
线性组合：$\alpha=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+…+k_m\alpha_m$
- $\alpha$是$\alpha_1,…,\alpha_m$的线性组合
- $k_1,..,k_m$是组合系数
- $\alpha可由\alpha_1,…,\alpha_m$线性表示
向量可否由另一组向量线性表示——转化成非齐次线性方程组是否有解
线性方程组解的向量表示：
线性相关和线性无关
若有一组不全为0的数，使得$k_1\alpha_1+…+k_m\alpha_m=0$ 则称向量组$\alpha_1,…,\alpha_m$ 线性相关，否则线性无关
- 对于单个向量 $\alpha=0$线性相关，否则无关
- 一组包含零向量的同维向量线性相关
- 判断数字向量组线性相关或无关的方法——齐次线性方程组是否有非零解
- 如果矩阵A的子矩阵A0的各行（列）线性无关，则由A0的这些行（列）扩充得到的A的行（列）线性无关。
- 对于向量而言：短无关，则长无关；长相关，则短相关。
线性相关性判定定理
向量组的秩
- 向量组T有r个向量线性无关（r>=1)
- 任意r+1个向量都线性相关
- $a_1,a_2,…,a_r$是T的一个极大线性无关组 r是向量组的秩
说明
- 秩唯一
- T只含零向量时 r=0
- 任意r个线性无关向量都组成T的一个极大无关组，可能不止一个
- 如果T的向量个数=秩r，则T本身就是唯一一个极大无关组
- 秩r<=向量维数n
定理1
矩阵A初等行变换得到的B，与A的任意个数列向量线性相关性相同
矩阵A初等列变换得到的C，与A的任意个数行向量线性相关性相同
将列向量组成的矩阵经过初等行变换转换为行最简型
等价向量组及其秩的关系
每个$\alpha_i$都可以由$\beta_1,…,\beta_s$线性表示 则称$T_1$可以有$T_2$线性表示
如果$T_1,T_2$可以互相线性表示，则$T_1$和$T_2$等价
等价三公理：反身 对称 传递
定理2：向量组和任何一个极大无关组等价 ==> 向量组的任意两个极大无关组等价 向量组S是它的任意极大线性无关组T的线性组合
推论：
- 设向量组$T_1$秩为r 向量组$T_2$秩为s 若$T_1$可由$T_2$线性表示,则$r\leq s$
- 等价向量组秩相等
基
向量空间定义
若V是向量空间，则V必含有零向量
向量组生成的向量空间
$V={x=k_1\alpha_1+…+k_2\alpha_m|k_j\in R,j=1,2,…,m}$ 记为$L(\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_m)$ 或 $span (\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_m)$
子空间：两个n维向量集合$V_1$和$V_2$，如果$V_1\subset V_2$，且$V_1,V_2$都是向量空间，则$V_1$是$V_2$的子空间
$L(\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_m)$ 可以由任意一个极大无关组生成
基的概念
设V为向量空间，如果：
- V中r个向量$\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_r$线性无关
- V中任意向量都可由$\alpha_1,…,\alpha_r$线性表示，则称$\alpha_1,…,\alpha_r$是V的一个基，则称r是V的维数，dimV=r
向量空间维数：基的向量个数
向量维数：向量所含坐标个数
基的性质
设V 是由 n 维向量构成的 r 维向量空间
- V 的任意r+1个向量必定线性相关.
- V的基是向量组T的一个极大无关组，从而dimV=r(T)
- V中任意r个线性无关向量都可作为V的一个基.
- dimV<=n
- 任意n+1个向量线性相关
- $V_1$是$V_2$子空间时，$dim V_1\leq dim V_2$
正交基
一个基满足$[\alpha_i,\alpha_j]=0(\forall i\neq j)$ 即$\alpha_1,…,\alpha_r$两两正交
如果任意$||\alpha_i||=1$，则称为标准正交基
两两正交的非零向量组必定线性无关
基变换与坐标变换
坐标变换公式
线性方程组解的结构
解空间
解空间的维数dimS
解法步骤:
(1)求齐次方程基础解系;
(2)求非齐次特解;
(3)写出通解.
线性空间
定义
- 凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称为线性运算
- 线性空间中的向量不一定是有序数组
- 判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间
- 一个集合，如果定义的加法和乘数运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性
- 一个集合，如果定义的加法和乘数运算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满足八条线性运算规律
性质
- 零元素是唯一的
- 负元素是唯一的
- $0\alpha=0$ $(-1)\alpha=-\alpha$ $\lambda0=0$
- 如果$\lambda\alpha=0$，则$\lambda =0或\alpha=0$
子空间
维数、基与坐标
线性变换
线性变换的矩阵
子空间的直和
定理
$V_1+V_2$为直和$\Leftrightarrow V_1\cap V_2=L(0)$
3.行列式
对角线法则
三角行列式的值
范德蒙行列式
行列式基本性质
行列式按行（列）展开定理
有关行列式的重要公式
Cramer法则
行列式计算
常采用性质5对行列式进行恒等变形，从而能出现较多0元素，从而转换为三角行列式或者按照行列展开
4.矩阵
矩阵的定义
m*n的数表 实矩阵/复矩阵 方阵 行/列矩阵 零矩阵 对角矩阵（主对角线元素不全为0，其他元素均为0）单位矩阵（主对角线元素全为1的对角矩阵）
矩阵的运算
同型 相等
线性运算：加法，数乘 负矩阵 减法
矩阵乘法
方阵的多项式
A为n阶方阵，规定A的k次方为$A^k=A\cdot A… A$ $A^0=E$
$f(A)=a_mA^m+…+a_1A+a_0E$ 为A的m次多项式
矩阵的转置
$(AB)^T=B^TA^T$
对称矩阵：$A^T=A$
反对称矩阵：$A^T=-A$
方阵行列式
$\det A$ 或 $|A|$
伴随矩阵
$AA^=A^A=(\det A)E$
共轭矩阵
共轭：实部相等，虚部互为相反数的两个复数
厄米特矩阵(Hermitian Matrix)
矩阵乘法与线性变换
坐标变换：平移 旋转
线性变换 乘法、加法、数乘、线性变换的逆
矩阵的秩
子式
矩阵的秩
行满秩矩阵 列满秩矩阵 行秩 列秩
矩阵的秩=矩阵的行秩＝矩阵的列秩
矩阵的初等变换：对调两行（列），数乘，倍加（某一行/列所有元素的k倍加到另一行/列的对应元素上
矩阵A经过有限次初等变换得到B，则$A\cong B$ 或 $A\rightarrow B$
定理：$A\cong B\Rightarrow rankA=rank B$
求矩阵的秩：
- 非零子式的最大级数
- 求出行/列向量组的秩
- 用初等变换化 A 为阶梯阵 J，R(A) 等于中非零行的行数
总结
矩阵的秩和极大无关组的关系
矩阵的秩和方程组解的关系
逆矩阵
n阶方阵A,B，AB=BA=E 则A是可逆的，B是A的逆矩阵
求矩阵的逆
待定系数法 计算量太大
可逆的充要条件是$detA\neq 0$ 即秩为n
伴随矩阵法：$A^{-1}=\frac 1 {detA}A^*$
- $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
- $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$
- $det(A^{-1})=(detA)^{-1}$
- $A可逆\Rightarrow A^也可逆$ 且$(A^)^{-1}=\frac A {detA}$
- $A可逆\Rightarrow (A^)^{-1}=(A^{-1})^$
- $detA^*=(detA)^{n-1}$
- $(A^)^=(detA)^{n-2}A$
- 同阶方阵A，B均可逆$\Rightarrow(AB)^=B^A^*$
逆矩阵应用
n阶线性方程组的求解 $x=A^{-1}b$
求线性变换的逆变换
矩阵方程求解
初等方阵
单位矩阵E经过一次初等变换的到的方阵
两行/列互换 E(i,j)
第i行/列乘以非零数k E(i(k))
第j行/列的k倍加到第i行/列 E(i,j(k))
n阶方阵可逆$\Leftrightarrow$ A能表示为若干个初等方阵的乘积
新的逆矩阵计算方式
关于方阵可逆性的等价命题
分块矩阵
正交矩阵
$A^TA=E$
$AA^T=E$
$A^{-1}=A^T$
A的n个行（列）向量是两两正交的单位向量
5.欧氏空间
欧式空间
内积的性质
向量夹角 正交向量 勾股定理
内积的矩阵表示
度量矩阵是实对称矩阵 也是正定矩阵
正交化
标准正交基
施密特正交变换法
欧氏空间同构
正交变换 子空间
相似矩阵
方阵的特征值和特征向量
求特征向量，特征值
、
特征向量线性无关
相似对角化
实对称矩阵的相似矩阵
6.二次型
$f=x^TAx$ A为实对称矩阵
化二次型为标准型
寻求一个可逆的线性变换x=Py使之化为只含平方项的形式：$f=k_1y_1^2+…+k_ny_n^2$
称只含平方项的形式为二次型的标准形
正交变换法化实二次型为标准型
求对称矩阵A的特征向量，单位化后得到正交矩阵Q
令x=Qy
矩阵相合
正定二次型
7.奇异值分解
$A=UDV^T$
A可以是m*n的，不需要方阵
对角阵D的对角线上元素是奇异值 U的列向量是左奇异向量
V的列向量是右奇异向量
A的左奇异向量是$AA^T$的特征向量 A的右奇异向量是$A^TA$的特征向量
A的非零奇异值是$A^TA$特征值的平方根，同时也是$AA^T$特征值的平方根